全微分怎么算例题及答案初中详解

摘要：
本文旨在为初中生详细解释全微分的计算方法，并通过具体例题演示全微分求解步骤。全微分是多元函数微分学的重要概念，通过本文的学习，初中生可以初步了解并掌握全微分的基本原理和运算技巧。

一、全微分的基本概念

全微分是多元函数在其定义域内某点处，对各个自变量分别求偏导数后，再与各自变量的增量相乘并求和得到的线性主部。对于二元函数f(x, y)，其在点(x0, y0)处的全微分可以表示为：

df = f'x(x0, y0) * dx + f'y(x0, y0) * dy

其中，f'x(x0, y0)和f'y(x0, y0)分别是函数f在点(x0, y0)处对x和y的偏导数，dx和dy是自变量x和y的增量。

二、全微分的计算步骤

1. 求出函数在指定点处的偏导数；
2. 将偏导数与各自变量的增量相乘；
3. 将各乘积相加得到全微分的值。

三、全微分计算例题

例题：求函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2在点(1, 2)处的全微分。

解：

1. 首先求出函数在点(1, 2)处对x和y的偏导数。
   • f'x(x, y) = 2x + 2y
   • f'y(x, y) = 2x + 2y
     将x=1, y=2代入得：
   • f'x(1, 2) = 21 + 22 = 6
   • f'y(1, 2) = 21 + 22 = 6
2. 计算全微分：
   df = f'x(1, 2) * dx + f'y(1, 2) * dy
   = 6 * dx + 6 * dy

因此，函数f(x, y)在点(1, 2)处的全微分为：df = 6dx + 6dy。

总结：
通过本文的讲解，初中生可以初步了解并掌握全微分的基本概念和计算步骤。需要注意的是，在实际应用中，全微分通常用于近似计算多元函数在某点附近的值。掌握全微分的计算方法有助于加深对多元函数微分学的理解，并为后续学习打下坚实的基础。

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